Uniform{stats}を利用した連続一様分布の確率密度関数

Uniform {stats} を利用して、連続一様分布の確率密度関数を確認します。

確率密度関数

\[\begin{equation}f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{b-a} & \textrm{for}\quad a \leq x \leq b\\0& \textrm{for}\quad x<a\; \textrm{or}\;x>b\end{cases}\end{equation}\]

累積分布関数

\[\begin{equation}F(x)=\begin{cases}0 & \textrm{for}\quad x<a\\ \dfrac{x-a}{b-a} & \textrm{for}\quad a \leq x < b\\1& \textrm{for}\quad x\geq b\end{cases}\end{equation}\]

期待値

\[E(x)=\dfrac{a+b}{2}\]

分散

\[V(x)=\dfrac{(b-a)^2}{12}\]

確率密度関数のシミュレーション

library(dplyr)
n <- 10^6
a <- 3
b <- 6
sample <- runif(n = n, min = a, max = b)
sample %>%
  hist(xlim = c(a - 2, b + 2), ylim = c(0, h = 1 / (b - a) + 0.1), freq = F, main = "連続一様分布の確率密度関数のシミュレーション")
abline(h = 1 / (b - a), col = "red")
Figure 1

期待値の確認

sample %>% mean()
(a + b) / 2
[1] 4.50016
[1] 4.5

分散の確認

sample %>% var()
(b - a)^2 / 12
[1] 0.7501211
[1] 0.75

参考引用資料

  1. https://bellcurve.jp/statistics/course/8013.html
  2. https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E4%B8%80%E6%A7%98%E5%88%86%E5%B8%83